小學(xué)就會(huì )背的乘法表，還藏著(zhù)這么多秘密？

乘法表可以追溯到 4000 多年前的巴比倫人。最早的十進(jìn)制的例子出現在大約公元前 300 年的中國，由竹簡(jiǎn)制作的乘法表可以計算小于 99.5 的整數和半整數的乘積;此外我們可辨認的還有大約公元 100 年時(shí)，尼可馬庫斯(Nichomachus)在他的《算術(shù)導論(Introduction to Arithmetic)》中提到的畢達哥拉斯表。

最早的十進(jìn)位乘法表之一，出現在大約公元前 300 年的中國，用竹簡(jiǎn)構造而成。

如今在學(xué)校里，乘法表是學(xué)生們通過(guò)死記硬背和快速記憶練習來(lái)學(xué)習乘法的工具。雖然有些人認為掌握乘法表本身就是一種成就，但此外它還為學(xué)生打下了堅實(shí)的數學(xué)基礎。讓我們來(lái)深入研究一下，從一些有趣的視角來(lái)揭示隱藏在乘法表的奧秘。

三角形數

在解釋什么是三角形數之前，讓我們看看這個(gè)乘法表，以及我們可以用它來(lái)做什么。表中的第一行和第一列都包括了數字 1 到 10，而其他的方格中填充了所在行中的第一個(gè)數字與列中第一個(gè)數字的乘積。

我們在表格的頂部和左側各添加一行 / 列 0，仍然是一個(gè)乘法表，只是便于我們看出下面的一些圖案。

現在，我們把 2 的倍數(所有的偶數)對應的方格都涂上藍色。這意味著(zhù)，與 2 的倍數對應的所有行和列也都是藍色的，這樣我們就得到了一個(gè)藍色的網(wǎng)格。不在這個(gè)藍色網(wǎng)格中的方格都是白色的。(這里我們在水平方向和豎直方向將表格擴展到了數字 16。)

現在，我們把所有 3 的倍數的方塊都涂成藍色。和前面一樣，我們得到了一個(gè)藍色的網(wǎng)格，其中的行、列均對應于 3 的倍數。中間剩余的四個(gè)白色方格組成了一個(gè)更大的正方形(2×2=4):

如果我們把所有 4 的倍數的方塊都涂成藍色，同樣可以得到一個(gè)藍色的網(wǎng)格。在這種情況下，藍色網(wǎng)格外的地方構成包含 3×3=9 個(gè)小方格的正方形，這些正方形并不完全是白色的，因為中間的方塊是藍色的。出現這種情況是因為 4 不是質(zhì)數。

一般來(lái)說(shuō)，如果你選擇一個(gè)正整數 k 并且用藍色表示乘法表中所有 k 的倍數，那么你會(huì )得到一個(gè)相應的藍色網(wǎng)格，剩下的 (k-1)2 個(gè)小方格會(huì )組成一個(gè)正方形。k 是否為質(zhì)數決定了這些正方形是純白色還是包含一些藍色小方格。

這很有趣，我們換一個(gè) k. 下圖是我們從 k=6 得到的圖案 (你可以很容易地想象 k=5 的圖案，因為 5 是質(zhì)數)。

讓我們看看三角形數如何出現在圖中。三角形數是一種數字，它可以用一組點(diǎn)構成的圖案來(lái)表示，這些點(diǎn)排列在一個(gè)等邊三角形中，每邊有相同數量、間距相同的點(diǎn)。

例如:

第一個(gè)三角形數是 1，第二個(gè)是 1+2=3，第三個(gè)是 1+2+3=6，第四個(gè)是 1+2+3+4=10，以此類(lèi)推。通常，第 n 個(gè)三角形數 Tn 是從第一個(gè)數 1 到 n 的和：

我們怎樣才能在乘法表的方格里找到這些神奇的數字呢?首先，讓我們再看一下乘法表，其中 3 的倍數對應的方格是藍色的。(我們忽略了藍色是 2 的倍數的乘法表，因為數學(xué)家們認為它是平庸的(trivial)：沒(méi)有什么意思)。乘法表中 3 的倍數涂成藍色之后的第一個(gè)白色方塊是這樣的:

把這個(gè)白色正方形里的數字加起來(lái)得到：

9 不是一個(gè)三角形數，但它是一個(gè)三角形數的平方。準確地說(shuō)，它是第二個(gè)三角形數 T2 的平方。

現在，我們來(lái)看看將乘法表中 4 的倍數對應小方格涂成藍色之后得到的第一個(gè)白色正方形:

把這個(gè)正方形里的數字 (包括中間藍色小方格里的數字) 加起來(lái)得到結果：

在這種情況下，和等于第三個(gè)三角形數的平方。

用不了多久，你就會(huì )發(fā)現 k=5 和 k=6 也有同樣的規律。

當 k=5 時(shí)，第一個(gè)正方形里的數字之和：

當 k=6 時(shí)：

這是一個(gè)普遍的規律嗎?

我們把任意一個(gè) k 的倍數涂成藍色，都是這樣的嗎?如果是，那么將乘法表中 k 的倍數涂成藍色之后圍成的第一個(gè)正方形內所有數字求和之后，便能求得第 k-1 個(gè)三角形數 Tk-1。

我們來(lái)看看這是否正確。乘法表中，我們會(huì )看到第一行方塊的組成數字是：

第二行由這些數字乘以 2:

第三行由第一行中的數字乘以 3:

以這種方式一行接一行地繼續下去，直到正方形的最后一行：將第一行的數字乘以 (k-1)：

再把這些行中的數字相加：

提出 (1+2+3+…+k-1)，式子變成：

如上所述：

因此，我們證明了第一個(gè)大正方形內所有數字之和 Tk-12 等于第 k-1 個(gè)三角形數的平方。

平方數

在整數的海洋中，乘法表主對角線(xiàn)(從西北角到東南角)上的紅色數字顯然是平方數 —— 整數的 2 次方。

乘法表中不僅可以找到三角形數，還可以找到平方數。在前面的介紹中我們知道，乘法表中將數字 k 的倍數填充為藍色，由這些藍色方格所包圍的正方形中數字之和與一個(gè)三角形數有關(guān)。方格中數的和等于 (2m-1)(2n-1) Tk-12，其中 m 和 n 分別表示從頂部和左側算起的方格數目，Tk-1 是第 k-1 個(gè)三角形數。

我們可以看到，主對角線(xiàn) (從西北角到東南角) 上藍色倍數所包圍的正方形格之和也是平方數。從文章的原始求和公式出發(fā)能夠很容易地證明這一點(diǎn)，因為垂直和水平的位置是相同的，我們在公式中只使用 m：

分裂方格

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格結構，我們可以找到更多的平方數?；谥鲗蔷€(xiàn)的方形格子似乎總能產(chǎn)生平方數，而這個(gè)平方數與所選方格共有的列指標與行指標之和密切相關(guān)。

由第 2 行第 2 列的單個(gè)方格(橘色部分)得到平方數 22=4;第 3、4 行與第 3、4 列交疊處有四個(gè)方格(紅色)，將四個(gè)方格中的數字加在一起得到 (3+4)2=49;而第 5、6、7 行與第 5、6、7 列交疊出有九個(gè)方格(綠色)，將這九個(gè)方格的數字加在一起得到 (5+6+7)2=324。

乘法表，左側為行指標，頂部為列指標。

當一個(gè)方格由非連續的行和列相交產(chǎn)生時(shí)，這似乎也成立。如果我們取第 1、4、8 行與第 1、4、8 列的交點(diǎn)，則(分立的)方格的中數字之和是：(1+4+8)2=169.

對于乘法表中三個(gè)整數 a、b、c 定義的方格，可以通過(guò)數學(xué)運算得出對這三個(gè)數都適用的公式。在上面的例子中，方格中的數字之和是：

更一般的有：

通過(guò)將相同的行指標 (a、b、c) 與對應的列指標 (a、b、c) 相交方格中的數字求和，給出了行 / 列指標和的平方。這能擴展到 4 個(gè)數字，5 個(gè)數字，甚至更多嗎?

平方的平方數和立方的平方數

基于這一知識，我們可以發(fā)現一些特殊的模式。例如，讓我們來(lái)看看以連續奇數為行指標和列指標對應的行，你會(huì )很快發(fā)現連續奇數(從 1 開(kāi)始)的和等于一個(gè)平方數。

因為連續奇數的和是一個(gè)平方數，那么連續奇數對應的行 / 列指標的和就是一個(gè)平方數。那么行 / 列指標的和的平方將是一個(gè)平方數的平方：即一個(gè)數字的四次方。因此，我們可以用這種特殊的格陣形式從乘法表中得到 4 次方的正整數。

將連續奇數行和連續奇數列交點(diǎn)上的藍色正方形求和會(huì )得到 4 次冪的數。

我們可以使用另一個(gè)有趣的結論，一個(gè)立方數 (一個(gè)數的 3 次方) 可以寫(xiě)成一個(gè)連續奇數的和。例如，13=1，23=8=3+5，和 33=27=7+9+11.因此，如果我們選擇的是這些連續的奇數行和奇數列的交點(diǎn)的方形格，這些方形格中數字的和將是一個(gè)立方數的平方，也就是一個(gè)數的 6 次方。下面的綠色方塊是第 3、5 行與第 3、5 列的交點(diǎn)，它們的和是 (3+5)2=(23)2=26. 黃色方塊是第 7、9、11 行與第 7、9、11 列的交點(diǎn)，它們的和是 (7+9+11)2=(33)2=36.

數學(xué)老師總是在尋找新的方法來(lái)介紹乘法、指數和代數的概念。如果我們跳出思維定式，就會(huì )發(fā)現乘法表不僅僅是用來(lái)記憶乘法表的工具。如果我們選擇潛入湛藍的海水深處，我們將在她的海底發(fā)現許多數學(xué)寶藏。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/powers-multiplication-table

https://plus.maths.org/content/triangular-patterns